यदि $\left( A - \frac{I}{2} \right)$ और $\left( A + \frac{I}{2} \right)$ दोनों लंबकोणीय आव्यूह (orthogonal matrices) हैं,तो:

यदि $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ है, तो $A^2 - 5A + 14I = 0$ होता है। निम्नलिखित में से कौन सा $A^2$ के बराबर है?

मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $(A^{2}-B^{2})$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है। यदि $A^{5}=B^{5}$ और $A^{3} B^{2}=A^{2} B^{3}$ है,तो आव्यूह $A^{3}+B^{3}$ के सारणिक का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $P = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$ है। मान लीजिए $Q = \begin{bmatrix} x & y \\ z & 4 \end{bmatrix}$ कुछ शून्येतर वास्तविक संख्याओं $x, y$,और $z$ के लिए है,जिसके लिए एक $2 \times 2$ आव्यूह $R$ मौजूद है जिसके सभी अवयव शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं,ताकि $QR = RP$ हो। तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A)$ $|Q-2I| = 0$
$(B)$ $|Q-6I| = 12$
$(C)$ $|Q-3I| = 15$
$(D)$ $yz = 2$

$\left|\begin{array}{cc}\log _5 729 & \log _3 5 \\ \log _5 27 & \log _9 25\end{array}\right| \times \left|\begin{array}{cc}\log _3 5 & \log _{27} 5 \\ \log _5 9 & \log _5 9\end{array}\right|$ का मान है

सूची $I$	सूची $II$
$P.$ मान लीजिए $y(x)=\cos \left(3 \cos ^{-1} x\right), x \in[-1,1], x \neq \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. तब $\frac{1}{y(x)}\left\{\left(x^2-1\right) \frac{d^2 y(x)}{d x^2}+x \frac{d y(x)}{d x}\right\}$ बराबर है	$1. \ 1$
$Q.$ मान लीजिए $A_1, A_2, \ldots, A_n(n>2)$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्ष हैं। मान लीजिए $\vec{a}_k$ बिंदु $A_k, k=1,2, \ldots, n$ का स्थिति सदिश है। यदि $\left|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \times \vec{a}_{k+1}\right)\right|=\left|\sum_{k=1}^{n-1}\left(\vec{a}_k \cdot \vec{a}_{k+1}\right)\right|$,तो $n$ का न्यूनतम मान है	$2. \ 2$
$R.$ यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ पर बिंदु $P(h, 1)$ से अभिलंब रेखा $x+y=8$ के लंबवत है,तो $h$ का मान है	$3. \ 8$
$S.$ समीकरण $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2 x+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{4 x+1}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{2}{x^2}\right)$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक हलों की संख्या है	$4. \ 9$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$